凱利公式 (Kelly Criterion)
公式出處
凱利公式由美國數學家John L. Kelly於1956年首次提出，最初是用來解決電信信號中的資源分配問題，以最大化信號傳輸效率。這一公式後來在博弈與投資領域廣泛應用，因為它提供了一個數學模型，能夠幫助玩家或投資者根據賠率和成功機率，計算出最佳下注比例，以在長期內獲得最高的收益。
適合應用的遊戲
凱利公式最適用於那些有賠率和機率明確的遊戲，尤其是涉及長期下注或投資回報的場景。常見的應用範圍包括：
體育博彩（Sports Betting）：投注不同比賽時可以根據賠率和機率來決定下注的資金比例。
賽馬（Horse Racing）：類似於體育博彩，根據馬匹的賠率和預測成功的機率，合理分配資金。
股票和投資（Stock Market and Investments）：凱利公式常用於計算資金分配比例，以最大化長期投資回報。
這些遊戲和情境的共同特點是，它們都允許玩家通過賠率和成功機率來分析風險與收益之間的關係，從而計算出最佳下注或投資比例，優化長期的資金回報。
公式解析
凱利公式的核心目的是計算最佳的下注比例，使得玩家或投資者能夠在多次下注或投資過程中最大化長期的資金增長。公式如下：
f∗=bp−q/b
f∗：應該投入的資金比例，即玩家應該使用總資金的多少進行下注。
b：賠率，表示成功下注後能夠獲得的回報倍數（扣除原本金）。
p：成功的機率，即預測事件成功發生的概率。
q：失敗的機率，等於1−p。
公式分解
凱利公式透過比較成功機率與失敗機率的關係，來決定資金的最佳分配比例。具體而言，當成功機率高於失敗機率時，f∗ 將會是一個正數，表明玩家應該下注；反之，當失敗機率大於成功機率時，f∗ 會是一個負數，這表示不應該下注。賠率b 的值會直接影響下注的資金比例：賠率越高，投入資金的比例就越大；賠率越低，投入資金的比例就越小。
例子解析
假設某玩家在體育博彩中遇到一場比賽，該比賽的賠率b=2，且成功機率p=0.55 （即55%的概率贏得比賽），而失敗機率 q=1−0.55=0.45。將這些數據代入凱利公式進行計算：
f∗=(2×0.55)−0.45/2=1.1−0.45/2=0.65/2=0.325
這表明玩家應該使用總資金的32.5%來下注。這一比例是最佳的資金分配，可以在長期內最大化玩家的收益。如果玩家按照這一比例進行下注，根據凱利公式的理論，長期而言，他的資金將會呈現最佳的增長狀況。
應用解釋
體育博彩中的凱利公式應用
在體育博彩中，玩家可以通過分析比賽的賠率和勝率，利用凱利公式計算出最佳的下注資金比例。例如，在一場足球比賽中，假設某隊的賠率為 b=3，成功機率p=0.40，而失敗機率 q=0.60。根據凱利公式：
f∗=(3×0.40)−0.60/3=1.2−0.60/3=0.20
這意味著玩家應該將總資金的20%下注於該隊伍，這樣可以在長期內最大化回報。若該比賽的賠率過低或成功機率不足以覆蓋風險，公式會建議玩家避免下注，這有助於玩家有效地管理資金風險。
賽馬中的凱利公式應用
在賽馬投注中，玩家也可以使用凱利公式來決定最佳下注比例。假設一匹馬的賠率為b=5，成功機率預測為p=0.25，失敗機率為q=0.75。將數據帶入公式：
f∗=(5×0.25)−0.75/5=1.25−0.75/5=0.10
這表示玩家應該使用總資金的10%下注於該馬匹。這樣的投注比例可以平衡風險與回報，確保在長期賽馬下注中獲得穩定的資金增長。
股票投資中的凱利公式應用
在投資中，凱利公式同樣適用於計算投資組合中資金的最佳分配比例。假設某股票的回報率為 b=4，成功機率 p=0.60，失敗機率 q=0.40。通過凱利公式計算得出：
f∗=(4×0.60)−0.40/4=2.4−0.40/4=0.50
這表明投資者應將其資金的50%投入該股票，這將在長期內提供最大的資金增長。凱利公式提供了一個數學模型來幫助投資者管理風險和回報，使得資金能夠更有效地增值。
賭徒盈虧公式 (Gambler’s Ruin Formula)
公式出處
賭徒盈虧公式（Gambler’s Ruin Formula）源自於博弈論，這是數學領域的一個分支，專門用來分析博弈和策略選擇的理性決策過程。該公式首次由著名數學家Huygens在17世紀提出，隨後經過進一步完善，成為分析賭徒在長期博弈中面臨破產風險的重要工具。賭徒盈虧公式旨在計算在連續多次下注的情況下，玩家因連續失敗而耗盡資金的風險。
適合應用的遊戲
賭徒盈虧公式適用於那些需要進行長期連續下注的遊戲，特別是玩家每次下注金額相對固定或不變的情境。常見的適用遊戲包括：
輪盤（Roulette）：玩家在每局中投注相同金額，重複進行多次下注。
撲克（Poker）：特別是當玩家以固定金額參與多局賭局。
體育博彩（Sports Betting）：當玩家每次投注金額一致，且持續參與多場比賽。
這些遊戲具有明顯的隨機性和長期下注特徵，賭徒盈虧公式能夠幫助玩家計算資金被耗盡的風險，從而幫助玩家制定更穩健的資金管理策略。
公式解析
賭徒盈虧公式的核心目的是計算玩家在多次下注過程中破產的機率。公式如下：
P破產=(q/p)n次方
P破產：玩家最終破產的機率。
p：每次下注成功的機率，即玩家在單局中獲勝的概率。
q：每次下注失敗的機率，等於1−p。
N：玩家的初始資金與每次下注金額的比率，表示玩家資金能夠承受的最大下注次數。
公式分解
該公式說明，隨著失敗的機率q相對於成功機率p的比值增加，玩家破產的風險也會增加。尤其是當玩家的初始資金與每次下注的金額之間的比例較小時（即N較小），破產的可能性將會大幅提高。這個公式強調了資金管理在博弈中的重要性，因為即使成功機率較高，若每次下注金額過大，長期下注下來玩家也會有很大的破產風險。
例子解析
假設玩家在輪盤遊戲中，每次下注在「紅色」上，成功機率 p=18/37（因為輪盤上有18個紅色格子），失敗機率 q=19/37。玩家的初始資金是100單位，每次下注1單位，則 N=100。將這些數據帶入賭徒盈虧公式進行計算：
P破產=(19/37 / 18/37)100次方
該公式得出的數值將顯示出，儘管玩家在每局中有接近50%的成功機率，長期下注下來，其破產的風險還是非常高，這說明即使在單局中有較大勝算，缺乏良好的資金管理仍可能導致最終破產。
應用解釋
輪盤中的賭徒盈虧風險計算
在輪盤遊戲中，玩家通常會進行多次連續下注。根據賭徒盈虧公式，若玩家每次下注相同金額，並且擁有有限的資金，長期來看破產的可能性是相當高的。例如，假設玩家每次下注5單位，初始資金為50單位，且每次下注的成功機率為p=0.486（歐式輪盤紅色或黑色的機率）。假設失敗機率為 q=0.514，根據公式可計算出玩家破產的風險。這個結果能幫助玩家了解在長期下注中是否有必要減少每次下注金額，或調整下注策略以降低破產風險。
撲克中的長期風險管理
在撲克遊戲中，玩家經常會經歷多局遊戲，並且每局下注的金額通常固定。賭徒盈虧公式可以幫助撲克玩家計算其在長期遊戲中的破產風險。例如，一個撲克玩家的初始資金為1000單位，每局下注50單位，若玩家在每局的成功機率為 p=0.55（假設玩家技術較高），則失敗機率為 q=0.45。玩家可以通過賭徒盈虧公式來計算出，在這樣的長期下注下破產的機率是多少。如果破產的風險過高，玩家可以考慮減少每局下注的金額，從而增加長期生存的機會。
體育博彩中的破產風險
在體育博彩中，賭徒盈虧公式同樣適用，尤其是當玩家在多場比賽中進行相同金額的投注時。假設玩家每次投注100元，初始資金為10000元，且每次投注成功的機率為 p=0.6（即60%的贏率）。失敗機率為 q=0.4，根據賭徒盈虧公式可以計算出，長期下注下玩家面臨破產的風險。這可以幫助體育博彩的玩家了解每次下注金額與長期資金管理的重要性，從而避免過度投注帶來的風險。
組合公式 (Combination Formula)
公式出處
組合數的概念源自數學中的組合論（Combinatorics），這是一個研究如何選擇和排列物品的領域。組合數公式的核心目的在於計算從一組元素中，無重複且不考慮順序的選擇方式有多少種。這一概念在許多學科中應用廣泛，包括概率論、統計學以及博弈論。特別是在博弈中，組合公式被用來分析不同牌組、組合或其他選項的可能性，從而幫助玩家更好地理解其手中的牌或下注選項的強弱。
適合應用的遊戲
組合公式尤其適用於那些涉及牌組分析的遊戲，因為這些遊戲常常需要從一組固定的物件中進行選擇。適用的遊戲包括：
撲克（Poker）：玩家需要從一副撲克牌中選擇和比較手牌的組合。
百家樂（Baccarat）：雖然選牌過程是隨機的，但了解牌組可能性有助於更好地分析賠率和下注策略。
二十一點（Blackjack）：了解牌組的組合可以幫助玩家計算概率和制定策略。
這些遊戲都有一個共同特點，即玩家必須在多種可能性中選擇最具優勢的選項，而組合公式能幫助分析各種選擇的數量和機率。
公式解析
組合公式的數學表達式為：
C(n,k)=n!/k!(n−k)!
n：總數，即物品的總數量。
k：選擇的數量，即從總數中選出的項目數。
n!：n的階乘，表示 n×(n−1)×(n−2)×⋯×1
k!：k的階乘，同理表示k的所有整數的乘積。
公式分解
組合公式的核心思想是：給定一組物品，我們要計算從中選取特定數量的項目的方法數，且不考慮選擇的順序。例如，在撲克中，選擇的五張牌的順序並不重要，因此需要用組合公式來計算從一副52張撲克牌中隨機選取5張牌的總數量。
例子解析
讓我們以撲克為例，從一副包含52張牌的撲克牌中選擇5張牌。使用組合公式可以計算出總共可能的手牌數量：
C(52,5)=52!/5!(52−5)!=52!/5!×47!
這個公式可以簡化計算，因為52的階乘和47的階乘可以互相抵消，最終只需要計算上面的五個階乘值。具體計算過程如下：
C(52,5)=52×51×50×49×48 / 5×4×3×2×1=2598960
因此，從一副52張撲克牌中選擇5張牌，共有2,598,960種不同的組合。這意味著每次發牌時，玩家面對的所有可能手牌的總數是超過250萬種，這展示了撲克遊戲的巨大變化性和策略深度。
應用解釋
撲克中的組合分析
在撲克遊戲中，組合公式被廣泛應用於手牌強度的計算。例如，玩家可能會想知道得到一副「同花順」（Straight Flush）的機率。為了計算這個機率，首先需要知道從一副52張牌中選取5張牌的所有可能性，即使用組合公式得出的2,598,960種組合。
接著，玩家可以計算同花順的具體可能數。對於每一種花色（例如黑桃），有10種不同的順序組合（從A-2-3-4-5到10-J-Q-K-A）。因此，四種花色總共有：
10×4=40
因此，得到同花順的機率可以計算為：
P(同花順)=40/2598960≈0.0000154
這表示玩家在撲克遊戲中獲得同花順的機率非常低，約為0.00154%，這展示了該手牌的稀有性。
百家樂中的組合應用
在百家樂中，雖然遊戲過程相對簡單且大多數選牌由莊家控制，但了解牌組的組合仍有助於玩家分析賠率和策略。例如，當玩家下注時，可以使用組合公式來計算某些特定牌型出現的可能性，從而制定更有利的下注計劃。
例如，假設玩家希望知道在百家樂中某些特定牌型（如兩張同點數的牌）出現的機率，這可以通過計算相關的組合來實現。
二十一點中的概率計算
在二十一點（Blackjack）遊戲中，組合公式同樣被應用於計算牌組的概率。例如，當玩家手中已有兩張牌，且希望知道抽到某張特定點數的機率，可以通過組合公式來計算剩餘牌中的組合方式。
例如，如果玩家已經拿到一張10點和一張5點，並希望再抽到一張A來得到「Blackjack」，則可以使用組合公式來計算從剩餘牌中抽到一張A的可能性。
結語
數學在博弈中扮演了至關重要的角色，能夠幫助玩家理性分析各種下注情境，並提高長期盈利的機會。從上述來勝娛樂城解析的期望值公式到凱利公式，每一個公式都有其特定的應用場景，玩家可以根據不同的遊戲和策略選擇相應的公式來提升自己的遊戲體驗。無論是處理複雜的賠率問題，還是分析破產風險，這些數學工具都能幫助你做出更精確的決策。
